ইউক্লিড ও তাঁর জ্যামিতি নিয়ে কিছু কথা

লেখক - ইন্দ্রনীল মজুমদার

জ্যামিতি (Geometry)— গণিত (Mathematics)-এর একটি উল্লেখযোগ্য ও গুরুত্বপূর্ণ শাখা। বিভিন্ন বস্তুর আকার, আকৃতি, কোণ ও বাহু ইত্যাদি নিয়ে কাজ করা এই বিষয়টি স্কুলজীবন থেকেই আমাদের সাথে জড়িয়ে থাকে। সে আমাদের বিষয়টি ভালো লাগতে পারে আবার নাও লাগতে পারে। আমরা সাধারণত প্রাথমিক, প্রাক-মাধ্যমিক ও মাধ্যমিক স্তরে যে জ্যামিতি অধ্যয়ন করে থাকি তার পোশাকি নাম হল ‘ইউক্লিডীয় জ্যামিতি (Euclidean Geometry)’।  এই নামের কারণ হল এই যে, এই জ্যামিতির প্রবক্তা বা আবিষ্কর্তা হলেন ইউক্লিড নামক একজন গ্রীক পণ্ডিত। মূলতঃ স্কুলে যে জ্যামিতি আমরা পড়ি, পড়ে জ্যামিতির সাথে প্রাথমিক পরিচয় ঘটাই সেই জ্যামিতি হল ইউক্লিডের আবিষ্কার। আমরা এই প্রবন্ধে ইউক্লিডকে স্মরণ করব।

ইউক্লিড প্রায় ৩৩০ কি ৩৩৪ খ্রিস্টপূর্বাব্দে খুব সম্ভবত গ্রীসের এথেন্স নগরীতে জন্মগ্রহণ করেন। তাঁর পিতার নাম নাউক্রাতেস। খুব সম্ভবত এথেন্স নগরীতেই তিনি বাল্যকালের পাঠ নিয়েছিলেন। খুব সম্ভবত তিনি প্রাচীন গ্রীকের সর্বশ্রেষ্ঠ দার্শনিক প্লেটোর স্কুলে পড়েছিলেন। পরে অবশ্য বাল্যকালের লেখাপড়া শেষ করে মিশরের আলেকজান্দ্রিয়া নগরীতে তিনি চলে আসেন। আলেকজান্দ্রিয়া তখন ছিল যাকে বলে জ্ঞান-বিজ্ঞানচর্চার প্রধান কেন্দ্রবিন্দু। তা সেখানে গিয়ে ইউক্লিড একটি স্কুল প্রতিষ্ঠা করে জ্যামিতির অধ্যাপনা শুরু করেন। ইউক্লিড ছিলেন সেই সময় যখন মেসিডনের রাজা আলেকজাণ্ডার  বিশ্বজয়‌ সেরে মিশরের  আলেকজেন্দ্রিয়ায় এসে বাস করছিলেন।

ইউক্লিড ছিলেন এক অসাধারণ প্রতিভাসম্পন্ন ব্যক্তি। তাঁর ছিল অগাধ পাণ্ডিত্য। শুধু তাই নয়, তিনি ছিলেন খুব ধৈর্যশীল। ধৈর্য ধরে ছাত্রদের পড়াতেন। ছাত্রদের সাথে তিনি অমায়িক ব্যবহার করতেন। এই সমস্ত কারণে ছাত্ররা তাঁকে খুব ভক্তি ও শ্রদ্ধা করত। তাঁর অসাধারণ অধ্যাপনার গুণ ও পাণ্ডিত্যের খ্যাতি ছড়িয়ে পড়ল চারপাশে। এর পাশাপাশি তাঁর প্রতিষ্ঠিত স্কুলটি হয়ে উঠল এক আদর্শ শিক্ষা নিকেতন। তাঁর পাণ্ডিত্যের কথা সবাই জানলেও, সাধারণ লোকের কাছে তাঁর জ্যামিতির বই সহজ ও সরল ছিল না। তাঁর জ্যামিতি সহজে বুঝতে না পারার দলে ছিলেন স্বয়ং মিশরের রাজা, আলেকজান্দ্রিয়ার গভর্নার প্রথম টলেমী। তিনি কিন্তু ছিলেন একজন উচ্চশিক্ষিত লোক। তা, একদিন একটা মজার ঘটনা ঘটল। রাজা প্রথম টলেমী ইউক্লিডকে জ্যামিতি বুঝতে না পারার প্রসঙ্গে বলতে গিয়ে জিজ্ঞাসা করলেন, “আচ্ছা, রাজা-রাজড়াদের জন্য আপনার জ্যামিতি শিক্ষার কোনও সহজ পথ আছে কি?” ইউক্লিডের তাৎক্ষণিক জবাব ছিল খুব তাৎপর্যপূর্ণ। তিনি বলেছিলেন, “না রাজামশাই, জ্যামিতি শিক্ষার কোনও রাজকীয় পথ নেই।” কোনও বিদ্যাশিক্ষার কি রাজকীয় পথ থাকে? তা কঠিন হোক কিংবা সহজ, তা যে সবার! এখানে বলে রাখা ভালো যে, রাজা টলেমী আলেকজেন্দ্রিয়া বিশ্ববিদ্যালয়ের পত্তন করেন এবং মহাপণ্ডিত ইউক্লিডকে সেখানে জ্যামিতির অধ্যাপনার জন্য নিমন্ত্রণ করে এনেছিলেন।

ইউক্লিডের আর এক অবদান হল পিরামিডের উচ্চতা নির্ণয় করা। ইউক্লিডের সহকর্মী অন্যান্য অধ্যাপকেরা মনে করতেন যে বিশাল  পিরামিডের উচ্চতা পরিমাপ করা যায় না, তা অসম্ভব। কিন্তু ইউক্লিড পিড়ামিডের উচ্চতা পরিমাপ করতে পেরেছিলেন। ইউক্লিড পিরামিডের কাছে গিয়ে প্রথমে তাঁর নিজের ছায়া মেপেছিলেন। পরে যে সময়ে ওই পিরামিডের ছায়াটি তাঁর নিজের উচ্চতার সমান হল তখনই তিনি তাড়াতাড়ি করে মেপে ফেললেন ওই পিরামিডের ছায়াটাও। আর এভাবেই ইউক্লিড ওই বিরাট পিড়ামিডের উচ্চতা মেপে ঘোষণা করেছিলেন। যদিও পিরামিডের নির্ণীত উচ্চতাটি ছিল আনুমানিক বা আসল উচ্চতার কাছাকাছি আসন্ন মান তবুও সেই যুগের নিরিখে তা ছিল এক যুগান্তকারী এবং অভাবনীয় বিষয়।

ইউক্লিডের আগে যে জ্যামিতির প্রচলন একেবারেই ছিল না তা কিন্তু নয়। কিন্তু সেইসব জ্যামিতির তত্ত্বকথাকে পরিমিতি (Mensuration) বলা ভালো। তখনকার দিনে ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ ইত্যাদি আকৃতির ক্ষেত্রগুলির পরিধি (perimeter) ও ক্ষেত্রফল (area) নির্ণয় করাই ছিল মানুষের মুখ্য কাজ। এইসব আকৃতির চরিত্রগত বৈশিষ্ট্য ও গুণাবলী নিয়ে চর্চা তেমন হত কই? তাই, জ্যামিতির চর্চা থাকলেও তা ছিল পরিমিতির আকারে। খ্রিস্টপূর্ব চতুর্থ ও পঞ্চম শতকে প্রাচীন গ্রীক গণিতজ্ঞ ইউডক্স, থিয়েততস ইত্যাদি মনীষীদের লেখায় জ্যামিতির কথা পাওয়া যায়। এমনকি জানা যায় যে, প্রাচীন মিশরে যখন প্রতি বছরই ব্যাপক বন্যা হত, সেই বন্যায় ঘর-বাড়ি ধুঁয়ে-মুছে যেত, মানুষের বিপুল সম্পত্তি নষ্ট হত তখন (হয়তো সেই বন্যা থেকে বাঁচতে) মিশরীয়রা জমির সীমা নির্ধারণের কাজে জরিপ করার ক্ষেত্রে জ্যামিতির সাহায্য গ্রহণ করত। এক্ষেত্রে, জ্যামিতির প্রয়োগিক বা ব্যবহারিক (applied) দিকটাই তারা কাজে লাগাত। কিন্তু অন্যদিকে গ্রীকরা জ্যামিতির ব্যবহারিক দিকটি নিয়ে তেমন উৎসাহী ছিল না, তারা উৎসাহী ছিল জ্যামিতির তাত্ত্বিক দিকটা নিয়েই। কিন্তু জ্যামিতির শুধু তাত্ত্বিক দিকটা জানলে তো আর বোঝা যাবে না যে, জ্যামিতি প্রয়োগ কিভাবে ও কোথায় করা হচ্ছে। এই  প্রসঙ্গে ইউক্লিডের সম্পর্কে একটি মজাদার গল্প আছে। গল্পের চেয়ে বলা ভালো ঘটনা। তা সেই ঘটনাটি হল যে, ইউক্লিডের কাছে একবার এক ছাত্র ক্ষোভের সাথে বলে যে, “জ্যামিতি শিখে কি হবে? আমি তো বাস্তব জীবনে এর কোনও প্রয়োগই দেখতে পাই না।” বোঝো কাণ্ড! তা, ইউক্লিড  ছিলেন ঠান্ডা মাথার মাস্টারমশাই। তিনি তাঁর চাকরকে ডেকে বললেন, “এই ছাত্রটিকে কিছু পয়সা দাও, কারণ জ্যামিতি শিখে ও কিছুটা লাভবান হতে চাইছে।” ঘটনাটা ভারি মজার, তাই না? আজও, আমরা গণিতের অনেক কিছুরই প্রয়োগ নিয়ে তেমন ওয়াকিবহাল নই। ব্যবহারিক বা প্রয়োগিক দিকটি তেমন আমাদের সামনে তুলে ধরা হয় কই? আসলে, ওই ছাত্রের ক্ষোভ আমাদেরও ক্ষোভ। শিক্ষাকে সম্পূর্ণরূপে কাজে লাগিয়ে রোজগার করা সব সময় যে হয়ে ওঠে না!

ইউক্লিডকে জ্যামিতির প্রবক্তা বলা হয়ে থাকে। ইউক্লিডের পূর্বসূরী যাঁরা ছিলেন এই যেমন হিপোক্রেটাস, থেলিস, পিথাগোরাস ইত্যাদি বিশ্ববরেণ্য গণিতজ্ঞদের জ্যামিতি বিষয়ক কাজগুলোকে ঠিকমতো পরপর সাজিয়ে, নতুন নতুন তত্ত্ব যোগ করে, প্রচলিত উপপাদ্যগুলোর আরও উৎকর্ষ ঘটিয়ে এবং অসম্পূর্ণ কিংবা পুরোপুরি সমাধান হয়নি এমন উপপাদ্যগুলো সম্পূর্ণ সমাধান করে সেইসব জ্যামিতিক কাজগুলোকে রূপদান করেছিলেন। প্রচলিত জ্যামিতির ধ্যান-ধারণাগুলো একত্রিত করে তিনি জ্যামিতি শাস্ত্রের যে রূপদান করেছিলেন তার ফসল হিসেবে আমরা পাই তাঁর রচিত কিংবদন্তি সেই গ্রন্থটি যার নাম ‘এলিমেন্টস অফ জিওমেট্রি’ বা সংক্ষেপে ‘এলিমেন্টস’। বলাবাহুল্য, আলেকজান্দ্রিয়া নগরীতে বসবাসকালেই ওই উক্ত গ্রন্থটি সম্পূর্ণ রচনা করেছিলেন। ওই গ্রন্থটি বেশ বড়– তেরোটা খণ্ডে বিভক্ত। অবশ্য সবকটি খণ্ডই যে ইউক্লিড নিজেই লিখেছিলেন তেমনটা নয়। কোনো কোনো খণ্ডের কিছু অংশ তাঁর ছাত্ররাও লিখেছিলেন যদিও লেখার পরিকল্পনা, নির্দেশ এমনকি সম্পাদনাও করেছিলেন স্বয়ং ইউক্লিড। এবার আসি এই বইয়ে কি কি অধ্যায় আছে সেই ব্যাপারে। এই গ্রন্থের প্রথম চারটি খণ্ডে রয়েছে ত্রিভুজ, বৃত্ত, বহুভুজ, সমান্তরাল সরলরেখা ও পিথাগোরাসের উপপাদ্যের প্রয়োগ নিয়ে আলোচনা। পঞ্চম খণ্ডে রয়েছে অনুপাত-তত্ত্ব আর এই তত্ত্বের উন্নততর আলােচনাই করা হয়েছে পরের খণ্ডে অর্থাৎ ষষ্ঠ খণ্ডে। সপ্তম থেকে নবম খণ্ডে আছে পূর্ণ সংখ্যাগুলোর ধর্ম বা বৈশিষ্ট্য নিয়ে  আলোচনা। দশম খণ্ডে রয়েছে জটিল অমূলদ রাশি নিয়ে আলােচনা। সপ্তম ও দশম খণ্ডে গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গসাগু) বা গরিষ্ঠ সাধারণ উৎপাদক নির্ণয়ের জন্য একটি কার্যকর পদ্ধতি নিয়ে তিনি আলোচনা করেছেন যা ‘ইউক্লিডীয় এলগরিদম’ নামে বিশেষ পরিচিতি। বাকি তিনটে  খণ্ডে অর্থাৎ একাদশ থেকে ক্রয়োদশ খণ্ডে রয়েছে পিরামিড, সিলিণ্ডার, কোণ, গোলক ইত্যাদি ঘন বস্তুগুলোকে নিয়ে আলোচনা। এখানে উল্লেখযোগ্য এই যে, এই বইয়ে ইউক্লিড জ্যামিতির বিভিন্ন বিষয়ের যেমন বিন্দু, সরলরেখা, ত্রিভুজ ইত্যাদির সঠিক সংজ্ঞা দিয়ে গেছেন। ‘এলিমেন্টস’ বইটি বিশ্বের প্রায় সব ভাষাতেই অনুদিত হয়েছে। দু'হাজার বছরেরও বেশি সময় ধরে এই বইটি জ্যামিতি শিক্ষার মূল গ্রন্থ বা জ্যামিতি শিক্ষার উৎসরূপে ব্যবহৃত ও সমাদৃত হয়ে রয়েছে। তবে, ঊনবিংশ শতাব্দীর শেষভাগে গণিতজ্ঞরা এই বইয়ের কিছু ত্রুটি বার করে সেগুলোকে সংশোধনও করেন। অত যুগ আগের লেখা বই তাই বলা যায় এই সংশোধনের কাজ হল সময়োপযোগী। এই সংশোধনের কাজকে বিশেষ সংস্কারও বলা যায় এবং তা খুবই জরুরি ছিল বইটিকে আধুনিক ও  আরও বিজ্ঞানসম্মত করে তোলার ক্ষেত্রে। মজার ব্যাপার হল, যতই সংশোধন হোক না কেন, বইয়ের মূল তত্ত্বগুলো এতটাই খাঁটি ও নির্ভুল যে আজকের দিনে দাঁড়িয়েও তা সংশোধনের প্রয়োজন হয় না। তাই, ‘এলিমেন্টস’ আজও গ্রহণীয়। আজকের এই আধুনিক বিজ্ঞান ও প্রযুক্তির যুগেও বিদ্যালয়ে শিক্ষার্থীদের এই বইয়ের অনুকরণে বা আদলে জ্যামিতিক শিক্ষাদান করা হয়। আর কোনও বই আছে যা আজও সেরা এবং এমন সুন্দর ও খাঁটি তথ্য সমৃদ্ধশালী কৃতিত্বের দাবি রেখেছে?

‘এলিমেন্টস’ ছাড়াও আরও কিছু বই ইউক্লিড রচনা করেছিলেন যাদের মধ্যে উল্লেখযোগ্য হল ‘ডাটা’, ‘অপটিক্স’, ‘কনিক্স’, ‘সিউডারিয়া’, ‘পরিসম’ ইত্যাদি। দুঃখের বিষয় এটাই যে, ইউক্লিডের লেখা বেশিরভাগ গ্রন্থই হারিয়ে গেছে কালের সাগরে। মাত্র তিনটি গ্রন্থই আছে যেগুলো হারায়নি। তাদের মধ্যে ‘এলিমেন্টস’-এর নাম তো করলামই আর আছে ‘ডাটা’ এবং ‘অপটিক্স’।

ইউক্লিড ছিলেন জ্যামিতিবিদ, গণিত তথা বিজ্ঞানের কিংবদন্তি গ্রন্থাকার। শুধু গণিতজ্ঞ নন, তাঁকে বলা যায় ‘মহাগণিতজ্ঞ’। গণিতে তো বটেই এমনকি শুদ্ধ বিজ্ঞান বা প্রাকৃতিক বিজ্ঞানে তাঁর বিপুল আগ্রহ ছিল। এই আগ্রহের ফলে মাঝে মাঝে তিনি  দার্শনিক এরিস্টটল-কে অনুসরণ করতেন। অনিক পণ্ডিতের মতে, তিনি আলোকবিজ্ঞান নিয়েও চর্চা করেছিলেন যার ফলস্বরূপ হিসেবে আমরা পাই ‘অপটিক্স’ বইটি। ইউক্লিড বলেছিলেন যে, আলোর সরলরেখার চোখ থেকে বের হয় অর্থাৎ  আলো সরল রেখায় চলে। ২৭৫ কিংবা ২৮০ খ্রিস্টপূর্বাব্দে ইউক্লিড এই ধরাধাম ছেড়ে চলে যান, রেখে যান তাঁর সৃষ্ট গণিত তথা বিজ্ঞানের শ্রেষ্ঠ সম্পদগুলো আর রেখে যান বিজ্ঞানের ইতিহাসে তাঁর নাম যা অমর হয়ে থাকবে তাঁর জ্যামিতিক অবদানসহ বিভিন্ন কাজের সাথে। পক্লসে, হেরন ইত্যাদি গণিতজ্ঞরা ইউক্লিডের লেখা বইগুলোকে সর্বদা স্মরণ করেছেন। সেই বইগুলো অর্থাৎ ইউক্লিডের বিজ্ঞান ও গণিত বিষয়ক রচনার দ্বারা বিজ্ঞানী গ্যালিলিও গ্যালিলেই প্রভাবিত হয়েছিলেন।  বিজ্ঞানী স্যার আইজ্যাক নিউটনের তাঁর জ্যামিতি পড়ে মাধ্যাকর্ষণ সূত্র আবিষ্কার করেছিলেন। এমনকি, আলবার্ট আইনস্টাইনও তাঁর জ্যামিতির প্রতি বিশেষ গুণগ্রাহী ছিলেন। তাঁর কাজ নিয়ে এত কিছু হয়ে গেলেও ব্যক্তি  ইউক্লিডকে আমরা ক’জন মনে রেখেছি?